[별의 광도]

  <별의 등급>

    1등성은 6등성보다 약 100배 밝습니다.

    5등성은 6등성보다 2.5배 밝고,

    4등성은 5등성보다 2.5배 밝고,

    3등성은 4등성보다 2.5배 밝고,

    2등성은 3등성보다 2.5배 밝고,

    1등성은 2등성보다 2.5배 밝습니다.

    2.5×2.5×2.5×2.5×2.5 = (2.5)⁵ ≒ 100 이므로

    1등성은 6등성보다 100배 밝은 것입니다.

    그리고 1등급의 차이는 (100)^1/5 가 됩니다.

    

  <공식 유도>

    m - M = 5 log(r) - 5

    위의 공식은 별의 실시등급(m), 절대등급(M), 지구로부터의 거리(r)

    관계를 나타낸 유명한 식입니다.

    log는 [로그]라고 읽으며 고등학교에서 배웁니다.

    그럼 이제 윗 공식을 유도해 보도록 하겠습니다.

별이름	등급	밝기
A	m1	L1
B	m2	L2

위의 표와 같이 두 개의 별이 있다고 가정합니다.

별B의 밝기(L2)는 별A의  (2.5)^(m1-m2) 배입니다.

m1-m2는 등급차라고 하죠.

만약 m1이 m2보다 크다면 L2 > L1 으로 별B가 더 밝고

m1이 m2보다 작다면 L2 < L1 으로 별A가 더 밝습니다.

이 관계를 식으로 쓰면 아래와 같습니다.

L2 = (2.5)^(m1-m2) L1

양변을 L1으로 나누면

L2/L1 = (2.5)^(m1-m2)

양변에 로그를 취하면

log(L2/L1) = Log(2.5)^(m1-m2) = (m1-m2) log(2.5)

m1 - m2 = 1/log(2.5) × log(L2/L1)

여기서,

log(2.5) = log(100)^1/5  = 1/5 log(100) = 1/5 × 2 = 2/5

이므로

m1 - m2 = 1/log(2.5) × log(L2/L1)

= 1/(2/5) × log(L2/L1) = (5/2) × log(L2/L1)

= 2.5 × log(L2/L1)

여기서 중요한 식이 나왔습니다.

바로 등급차와 밝기와의 관계식이죠. ^^

m1 - m2 = 2.5 × log(L2/L1)  ....(2)

밝기는 거리의 제곱에 반비례 합니다.

L(밝기) ∝ 1/d²

=> L = k × 1/d² 여기서 k는 비례상수입니다.

그리고, d는 관측자로부터의 거리입니다.

L1 = k × 1/d1², L2 = k × 1/d2² 을 식(2)에 대입하면

m1 - m2 = 2.5 × log(d1²/d2²)

= 2.5 × log(d1/d2)² = 5 × log(d1/d2)

즉, m1 - m2 = 5 × log(d1/d2) ....(3)

이것은 등급차와 거리와의 관계를 나타낸 식입니다.

여기서, m2 = M(절대등급)이라면,

d2 = 10pc(파섹)이죠. 왜냐면, 절대등급은 별이

지구로부터 10pc(파섹) 떨어진 곳이 있다고 가정하고

측정한 등급이니까요.

식(3)은 아래와 같이 바뀔 수 있습니다.

m1 - M = 5 × log(d1/10) = 5 × {log(d1) - log(10)}

= 5 × {log(d1) - 1} = 5 log(d1) - 5

m1은 m으로 두고, d1은 r로 둔다면,

드디어 우리가 증명하고자 했던 식의 모양이 됩니다.

즉,

m - M = 5 log(r) - 5

증명끝.